数据结构 + 算法 = 程序

准备

1.1 数据结构的概念

1.2 算法分析

1、算法分析包括对算法的时间和空间分析，一般更注重时间复杂度的分析。

2、算法分析包括对算法的事前和事后分析，受软硬件环境和机器代码等的影响，通过设计算法来计算的准确时间一般不够客观，因而通过事前估计的方式得出时空复杂度。

1.2.1 时间复杂度的概念

1、时间复杂度
  采用事前估计，用基本语句执行次数的规模来表示算法的运行时间，以 T(n) 表示，同时，更关注随着问题规模 n 的增长，算法消耗时间的增长趋势，因而一般使用渐进时间复杂度，采用大 O 表示法。

2、大O表示法
  设算法运行时间为T(n) ，若存在两个正的常数c和n0，对于任意的n≥n0，都有T(n) ≤ c×f(n)，则称T(n) = O(f(n))，也称为函数T(n) 以 f(n)为上界。
  换句话说，实际运行时间不超过 f(n) 的c倍，使用f(n)近似，能够反映变化趋势。

3、时间复杂度的计算
  首先，计算基本语句的执行次数，如下，T(n) = 2n+2。

int sum = 0;            //  1
for(int i=0;i<n;i++)    //  1 + n
    sun+=i;             //  n

  然后， 忽略常量、低次幂和最高次幂的系数，得到f(n) = n，使用大O表示法，则T(n) = O(n)。

4、常见时间复杂度
  常见时间复杂度的比较如下，O(1)的时间复杂度与规模无关，耗时最短，2的指数幂以及耗时更长的算法一般不采用。

  常见时间复杂度的举例如下，

//O(1)：以下语句与规模n无关，执行时间是一个常数，因而时间复杂度为1
    int i=1;
    i+=1;
    int j=1;
    j+=i;
//O(log(n))
    for(int i=1;i<n;i*=2)
        sum+=i;
//O(n)
    for(int i=1;i<n;i++)
        sum+=i;
//O(nlog(n))
    for（int i=1;i<=n;i++）
        for(int j=1;j<=n;j*=2)
            sum=sum+i+j;    
//O(n2)
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<n;j++)
            sum=sum+i+j;    
//O(n3)
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<n;j++)
            for(int k=1;k<n;k++)
                sum=sum+i+j+k;

1.2.2 实战练习（不断补充…）

  递归计算x的n次方，时间复杂度O(log(n))：

int func(int x,int n)
{
    if(n==0)
        return 1;

    int t = func(x,n/2)
    if(n%2==1)
        return t*t*x;

    return t*t;
}

  调和级数，时间复杂度O(nlog(n))

for（int i=1;i<=n;i++）
    for(int j=1;j<=n;j+=i)
        sum=sum+i+j;            // n + n/2 + n/3 + ... + n/n = n(1+ 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = n(ln(n+1)+r)

系列参考

1) 时间复杂度的计算
2) 递归算法的时间复杂度？
3) 《数据结构（C++）边学边做》任平红等著
4) 《剑指offer》何海涛著